🌀 10 фракталов, которые стоит увидеть

Фрактал (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев.

▪️ В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.
▪️ Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил серийный выпуск своих антенн. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться. Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность.
▪️ Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.
▪️ Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).
▪️ Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.
#gif #геометрия #математика #симметрия #geometry #maths #фракталы

Пытались ли вы запрограммировать отрисовку какого-нибудь фрактала? Напишите в комментариях, а лучше покажите что у вас получилось.

🐉 Кривая дракона

👩‍💻 Множество Мандельброта

🌿 Фракталы: Порядок в хаосе [2008] В поисках скрытого измерения [Fractals. Hunting the Hidden Dimension]

🌀 10 фракталов, которые стоит увидеть

🔺 Так выглядит фрактал

👩‍💻 Треугольник Серпинского

📕 Фрактальная геометрия природы [2002] Бенуа Мандельброта

🌿 Папоротник Барнсли

📘 Фракталы повсюду Второе издание [2000] Майкл Ф. Барнсли

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📝 Квадратура круга [1972] Центрнаучфильм

Детская научно – познавательная картина о древней математической загадке, названной «квадратура круга», о дальнейшей истории этой математической задачи. Квадратура круга — задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки (без шкалы с делениями) квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Наряду с трисекцией угла и удвоением куба, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Квадратура круга — задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу.

➰ О свойствах параболы ➿

Наш канал с научно-техническими фильмами: 🎥 Учебные фильмы 🎞 @maths_lib

#физика #математика #моделирование #опыты #эксперименты #physics #видеоуроки #научные_фильмы #math #geometry

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🌐 Задача: «Разноцветные тупоугольные треугольники на сфере»

Рассмотрим множество из n точек на единичной сфере в трёхмерном пространстве. Предположим, что никакие три точки не лежат на одном большом круге (т.е. находятся в общем положении). Это означает, что любые три точки образуют невырожденный сферический треугольник. Каждую точку мы красим в один из k цветов.

Вопрос: Каково минимальное число n(k), при котором для любой раскраски n(k) точек в k цветов обязательно найдётся одноцветный набор точек, образующий тупоугольный сферический треугольник?
Примечание: Сферический треугольник называется тупоугольным, если хотя бы один из его углов строго больше 90°.

Связь с классическими задачами: Эта задача является далёким и сложным «родственником» классической теории Рамсея. Вместо поиска моноклики в графе мы ищем конфигурацию точек с определённым геометрическим свойством (тупоугольность). Она также перекликается с задачами о хроматическом числе пространства, но на сфере и с жёстким геометрическим условием. Почему это интересно?

▪️ Геометрический комбинаторный поворот: Сочетание дискретной математики (раскраска) и непрерывной геометрии (свойства на сфере).
▪️ Нетривиальная нижняя оценка: Уже для k=2 (два цвета) задача неочевидна. Можно ли разместить много точек двух цветов так, чтобы все одноцветные треугольники были остроугольными? Это сложная задача на конструкцию.
▪️ Верхняя оценка с помощью Рамсея: Существование числа n(k) доказывается с помощью применения Теоремы Рамсея для гиперграфов, но полученная этим путём оценка будет астрономически большой. Интересно найти более разумные, «человеческие» оценки.
▪️ Открытость: Точные значения n(k) вряд ли известны даже для малых k (напр., k=2, 3). Это порождает пространство для дискуссий, гипотез и поиска частных случаев.

1. Какая конструкция для k = 2 даёт хорошую нижнюю оценку? Может использовать правильный октаэдр?
2. Как можно улучшить верхнюю оценку, используя не общий теорему Рамсея, а специфику геометрии сферы?
3. Верно ли утверждение, если заменить тупоугольность на остроугольность?
4. Как задача упростится, если мы будем рассматривать точки не на сфере, а на окружности?

Эта задача бросает вызов интуиции и требует как комбинаторной изобретательности, так и геометрического зрения. #математика #олимпиады #геометрия #комбинаторика #теория_вероятностей #math #geometry #задачи

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

⚙️ График, который получается в результате таких манипуляций — трохоида, у которой опорная поверхность не плоская, а имеет переменный радиус кривизны. По сути это совокупность эпитрохоид, построенных на поверхности с переменным радиусом кривизны.

Для понимания процесса нужно записать на черновике два параметрических уравнения, которые получаются, когда кругл «катится» по плоскости:

x = r⋅t - h⋅sin(t)
y = r - h⋅cos(t)

Для эпициклоиды уже сложнее:

x = R⋅(m+1)⋅cos(m⋅t) - h⋅cos((m+1)⋅t)
y = R⋅(m+1)⋅sin(m⋅t) - h⋅sin((m+1)⋅t)

где m = r/R , R — радиус неподвижной окружности (опорная поверхность), r — радиус катящейся окружности. h — расстояние от центра катящейся окружности до точки маркера (за которой мы следим, точка, которая рисует).
Ну а если тут положить R → ∞ и h → R , то мы получаем уравнения классической циклоиды, график которой описывает крайняя точка на колесе машины, которая едет с постоянной скоростью и без проскальзывания.

❓Математические вопросы для наших подписчиков:
▪️ Попробуйте выразить явную зависимость y(x). Получится у вас это сделать?
▪️ На видео видно, что мы получаем семейство кривых, которые после каждого полного «круга» немного смещаются. Для этого смещения обязательно ли число зубьев на маленьком колесе и число зубьев на опорной кривой должны быть взаимно простыми числами? Или достаточно лишь того, чтобы они отличались хотя бы на 1 ?

➰ Красота параметрических кривых

⭕️ Точки пересечения кругов на воде движутся по гиперболе

🕑 Экстремальная задача на смекалку

#математика #mathematics #animation #math #геометрия #geometry #gif

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🌐 Многие ребята в школе бояться теорему косинусов. Но они даже не знают, что существует теорема косинусов для трехгранного угла 😨

Трехгранный угол — это фигура, образованная тремя лучами, исходящими из одной точки S и не лежащими в одной плоскости. Эти лучи называются ребрами, а углы между ребрами (α, β, γ) называются плоскими углами. Углы между плоскостями граней называются двугранными углами.

Тождество на картинке можно доказать, как минимум, двумя способами:
▪️ Векторно-Координатный метод)
▪️ С помощью геометрии на сфере

А существует ли ещё какое-нибудь красивое доказательство данной теоремы? Кто догадался — напишите ваши идеи в комментариях.
#геометрия #математика #олимпиады #стереометрия #geometry #задачи #problems

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

➕ Математическая задача из дискретной математики — повод подумать для наших подписчиков. Попробуйте решить самостоятельно и написать ваши идеи в комментариях

💦 Задача: «Вихревая струя космического садовника

🌐 Задача: «Разноцветные тупоугольные треугольники на сфере»

🤔 Задача на подумать из методов математической физики (ММФ)

📜 Подборка задач от Ричарда Фейнмана

#математика #олимпиады #геометрия #комбинаторика #теория_вероятностей #math #geometry #задачи

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

⚙️ График, который получается в результате таких манипуляций — трохоида, у которой опорная поверхность не плоская, а имеет переменный радиус кривизны. По сути это совокупность эпитрохоид, построенных на поверхности с переменным радиусом кривизны.

Для понимания процесса нужно записать на черновике два параметрических уравнения, которые получаются, когда кругл «катится» по плоскости:

x = r⋅t - h⋅sin(t)
y = r - h⋅cos(t)

Для эпициклоиды уже сложнее:

x = R⋅(m+1)⋅cos(m⋅t) - h⋅cos((m+1)⋅t)
y = R⋅(m+1)⋅sin(m⋅t) - h⋅sin((m+1)⋅t)

где m = r/R , R — радиус неподвижной окружности (опорная поверхность), r — радиус катящейся окружности. h — расстояние от центра катящейся окружности до точки маркера (за которой мы следим, точка, которая рисует).
Ну а если тут положить R → ∞ и h → R , то мы получаем уравнения классической циклоиды, график которой описывает крайняя точка на колесе машины, которая едет с постоянной скоростью и без проскальзывания.

❓Математические вопросы для наших подписчиков:
▪️ Попробуйте выразить явную зависимость y(x). Получится у вас это сделать?
▪️ На видео видно, что мы получаем семейство кривых, которые после каждого полного «круга» немного смещаются. Для этого смещения обязательно ли число зубьев на маленьком колесе и число зубьев на опорной кривой должны быть взаимно простыми числами? Или достаточно лишь того, чтобы они отличались хотя бы на 1 ?

➰ Красота параметрических кривых

⭕️ Точки пересечения кругов на воде движутся по гиперболе

🕑 Экстремальная задача на смекалку

#математика #mathematics #animation #math #геометрия #geometry #gif

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

✍️ Математическая задача для наших подписчиков

📱 Обсуждение в нашем telegram

📱 Обсуждение в нашем VK

#задачи #математика #геометрия #тригонометрия #math #geometry #наука

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📝 Квадратура круга [1972] Центрнаучфильм

Детская научно – познавательная картина о древней математической загадке, названной «квадратура круга», о дальнейшей истории этой математической задачи. Квадратура круга — задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки (без шкалы с делениями) квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Наряду с трисекцией угла и удвоением куба, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Квадратура круга — задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу.

➰ О свойствах параболы ➿

Наш канал с научно-техническими фильмами: 🎥 Учебные фильмы 🎞 @maths_lib

#физика #математика #моделирование #опыты #эксперименты #physics #видеоуроки #научные_фильмы #math #geometry

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

⌛ Отображения функции в окружности [ Mapping Functions to a Circle ]

«Деление = 150» означает, что на окружности круга имеется 150 равномерно расположенных точек. Окружность здесь на самом деле представляет собой просто числовую линию, заключенную в круг с использованием функции деления по модулю (x mod 150). Выбирается точка «x» , умножается на некоторый коэффициент, получается новая точка «y». Координаты этих точек соединяются в линию. Огибающая этих отрезков создает красивые узоры. Это связано с эпициклоидами и отражениями света внутри кружки.

Две формы, которые вы, скорее всего, увидите в своей кружке, — это кардиоида (y = x * 2,000) («Кардио» означает «сердце», а «-oid» означает «подобный», поэтому «кардиоида» означает «похожий на сердце») (Кардиоид выглядит как сердце) и нефроид (y = x * 3,000) («Нефро» означает «почка», поэтому «Нефроид» означает «похожий на почку») (Нефроид выглядит как почка). #математика #опыты #геометрия #gif #анимация #видеоуроки #math #geometry

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib