🌀 Траектория спирографа как функция комплексной переменной

Фигуры, получаемые с помощью спирографа (игрушечного механизма для рисования гипоциклоид и эпициклоид), — не просто красивые узоры. Это наглядная визуализация сложного гармонического движения, которое элегантно описывается языком комплексных чисел.

Математическая модель: Пусть у нас есть неподвижная окружность радиуса R и катящаяся по ней изнутри окружность радиуса r. Фиксированная точка находится на расстоянии d от центра движущейся окружности.
Ключевой факт: Положение точки в плоскости можно задать не парой координат (x, y), а одним комплексным числом z.

Тогда траектория точки спирографа задаётся параметрической функцией (параметр t — угол поворота движущей окружности): z(t) = (R - r) * exp [ (i * ((R/r) * t)) ] + d * exp[ (i * ((1 - R/r) * t)) ], где части...

▪️1. (R - r) * exp [ (i * ((R/r) * t)) ] — это движение центра малой окружности вокруг центра большой. Модуль (R-r) — расстояние между центрами, экспонента с мнимым показателем ( exp(iφ) ) задаёт вращение.

▫️2. d * exp[ (i * ((1 - R/r) * t)) ] — это вращение точки относительно центра малой окружности. Частота этого вращения относительно неподвижной системы координат иная.

Какие полезные свойства это даёт?

1. Геометрия становится алгеброй. Сложение комплексных чисел — это векторное сложение. Вся траектория есть сумма двух вращающихся векторов (фазоров).
2. Условия замкнутости (периодичности) кривой выполняются, когда отношение R/r является рациональным числом. Кривая замыкается после конечного числа оборотов.
3. Число «лепестков» или симметрий в узоре напрямую выводится из числителя и знаменателя несократимой дроби R/r.
4. Частные случаи:
— Если d = r, точка лежит на ободе катящейся окружности — получаем гипоциклоиду.
— Если R = 2r, вне зависимости от d получаем эллипс.
— При R/r = 2 и d > r траектория становится отрезком прямой (это механизм рисования линии эллипсографом).

Таким образом, спирограф — это физическая модель сложения двух комплексных экспонент, частотный спектр которых содержит две основные гармоники. Анимации, построенные на этой модели, — это прямое вычисление вещественной и мнимой части функции z(t) для каждого кадра. #математика #mathematics #animation #math #геометрия #geometry #gif #ТФКП #наука #science #комплексныечисла #спирограф #гипоциклоида

➰ Красота параметрических кривых

➿ Трохоида

⭕️ Точки пересечения кругов на воде движутся по гиперболе

➰ Брахистохрона

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib