👽 Математики нашли доказательство 122-летней загадки превращения треугольника в квадрат

Около 10 лет назад Тонан Камата, ныне математик из Японского института передовых наук и технологий (JAIST), заворожённо стоял перед экспонатом математического музея, похожим на оригами. На нём была изображена треугольная плитка, разрезанная на четыре части, которые были соединены крошечными шарнирами. При простом повороте кусочки вращались, превращая треугольник в квадрат.

Экспозиция ведёт свою историю от математической головоломки, опубликованной в газете 1902 года. Генри Дьюдени, английский математик-самоучка и автор колонки головоломок, попросил своих читателей разрезать равносторонний треугольник на наименьшее количество частей, которые можно будет потом сложить в квадрат. В своей следующей колонке через две недели он отметил, что «мистер К. У. Макилрой из Манчестера» — Чарльз Уильям Макилрой, клерк, который часто писал Дьюдени с решениями головоломок, — нашёл решение из четырёх частей. Спустя ещё две недели Дьюдени сообщил, что никто из других читателей газеты не смог справиться с этой задачей, и с тех пор рекорд остаётся в силе. Однако до сих пор не доказано, существует ли решение с меньшим количеством кусочков.

Головоломка стала известна как «разрезание Дьюдени» или «задача галантерейщика», и о ней даже написали в июньском номере журнала Scientific American за 1958 год. Мартин Гарднер, математик и давний колумнист журнала, написал об этой загадке.

Теперь, спустя более 122 лет после того, как она была впервые опубликована, Камата и два других математика наконец доказали, что решение с меньшим количеством кусочков невозможно. Их результат был опубликован на сервере arXiv.org в препринте от декабря 2024 года под названием «Dudeney's Dissection Is Optimal».

Вместе с математиком Массачусетского технологического института Эриком Демайном и математиком JAIST Рюхеем Уехарой Камата разрабатывал новый подход к решению проблем складывания оригами с помощью теории графов. В теории графов граф — это набор линий, или рёбер, и вершин, то есть точек, где рёбра пересекаются. Рёбра и вершины одного графа можно сравнить с рёбрами и вершинами другого графа, чтобы изучить более глубокие взаимосвязи между двумя структурами — такой подход, по мнению Каматы, может помочь решить проблему расчленения Дьюдени.

Одна часть проблемы довольно проста: решение из двух частей можно исключить, если подумать об ограничениях задачи. Для начала, треугольник и квадрат должны иметь равные площади, потому что составляющие их кусочки одинаковы. Для квадрата самый длинный возможный разрез — по диагонали. Немного математики с ручкой и бумагой показывают, что, к сожалению, длина диагонали слишком мала для стороны треугольника такой же площади, что исключает решение, использующее два кусочка.

Однако доказать, что решений из трёх кусочков не существует, гораздо сложнее, и в этом причина столетней задержки. Хотя речь и идёт о трёх частях, существует бесконечное число способов разрезать треугольник, говорит Демейн. «У каждого из этих кусочков может быть произвольное количество граней, а координаты этих разрезов начинаются в произвольных точках», — говорит он. «У вас есть эти непрерывные параметры, где существует множество и множество бесконечностей возможных вариантов, что делает задачу такой раздражающе трудной. Вы не можете просто перебрать их с помощью компьютера».

Чтобы решить эту проблему, группа классифицировала возможные разрезы равностороннего треугольника, основываясь на том, как разрезы пересекают его грани. Сначала исследователи отсортировали бесконечное множество способов разрезать треугольник на пять уникальных классификаций. Затем они повторили упражнение для квадрата и нашли 38 различных классификаций.

Исследователи попытались сопоставить треугольный граф с квадратным, проследив все возможные пути в каждой фигуре и сравнив получившиеся наборы длин рёбер и углов. Если бы один из путей квадрата совпал с путём из треугольника, это означало бы, что есть решение из 3 частей.

#math #gif #геометрия #задачи #математика

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📚 Сборники конкурсных задач по математике [6 книг]

💾 Скачать книги

👩‍💻 Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, — это быть точным, второе — быть ясным и, насколько можно, простым. ©️ Г. Лейбниц

☕️ Для тех, кто захочет задонать на кофе:
ВТБ: +79616572047 (СБП) ЮMoney: 410012169999048

Сборники предназначены для молодежи, занимающейся самообразованием и готовящейся к поступлению в высшие учебные заведения, а также может быть использован преподавателями математики средних учебных заведений и руководителями математических кружков.
#математика #математический_анализ #олимпиады #алгебра #геометрия #задачи #разбор_задач

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📗 Методика решения задач по физике в средней школе [1987] Каменецкий С.Е., Орехов В.П.

💾 Скачать книгу

Аудитория: Книга предназначена в первую очередь для:
▪️ Учителей физики (как начинающих, так и опытных).
▪️ Студентов педагогических вузов (физических специальностей).
▪️ Репетиторов, стремящихся понять глубинные причины ошибок учеников.
▪️ Увлеченных старшеклассников, которые хотят не просто "натаскаться" на задачи, а понять логику и физическую суть их решения.

Ключевые достоинства и особенности:
1. Методический, а не задачниковый подход. Это главное отличие от большинства других книг. Авторы не просто дают задачи и ответы, а скрупулезно анализируют:
— Типичные ошибки учащихся: Почему ученик делает ошибку в конкретном типе задач? Какое неверное представление или пробел в знаниях за этим стоит?
— Классификацию задач: Задачи группируются не по темам ("кинематика", "динамика"), а по методам решения (координатный, графический, метод применения законов сохранения и т.д.). Это учит обобщению и переносу навыков.
— Формирование общего алгоритма: Авторы показывают, как подвести ученика к выработке общего плана действий при решении любой задачи: анализ условия, перевод в физическую модель, выбор законов, составление уравнений, анализ решения.
2. Акцент на физической стороне явления. В отличие от чисто математизированных сборников, здесь постоянно подчеркивается важность понимания физической сути. Авторы учат "видеть" за формулами и уравнениями реальные процессы, что критически важно для успешного решения нестандартных задач.
3. Система упражнений. Для каждого рассматриваемого метода предлагается система заданий: от простых, иллюстрирующих метод, до более сложных. Много внимания уделяется "задачам-ловушкам", которые провоцируют типичные ошибки, и их разбору.
4. Психологические аспекты. Авторы учитывают возрастные и психологические особенности школьников, что делает методические рекомендации практичными и реализуемыми в реальном учебном процессе.

Другие особенности книги:
▪️ Время издания. Это самый очевидный "минус" для современного читателя. В книге нет задач, связанных с современными технологиями (полупроводники, квантовая физика подробно не разбирается), отсутствуют цветные иллюстрации, графики выполнены в старой манере. Стиль изложения может показаться несколько академичным.
⚠️ Важно: Это НЕ недостаток методики. Законы Ньютона, термодинамика или электромагнетизм не изменились. Методика обучения их применению, изложенная в книге, остается верной.
▪️ Отсутствие готовых "решебников". Книга не предназначена для списывания. В ней даются методические указания, разборы ключевых моментов, но не полные решения всех задач. Это пособие для обучения преподавателя, как учить, а не для бездумного списывания учеником.
▪️Высокий уровень сложности. Некоторые разделы и рекомендации рассчитаны на физико-математические классы или на углубленное изучение. Для базового уровня книга может показаться избыточной.

☕️ Задонать на кофе: ВТБ: +79616572047 (СБП)

📚 Учебники по физике (профильный уровень) 5 томов Мякишева

📚 «Необыкновенная физика обыкновенных явлений»

📚 Гравитация [3 тома] Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж

#физика #physics #подборка_книг #задачи #наука #разбор_задач

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🌐 Задача: «Разноцветные тупоугольные треугольники на сфере»

Рассмотрим множество из n точек на единичной сфере в трёхмерном пространстве. Предположим, что никакие три точки не лежат на одном большом круге (т.е. находятся в общем положении). Это означает, что любые три точки образуют невырожденный сферический треугольник. Каждую точку мы красим в один из k цветов.

Вопрос: Каково минимальное число n(k), при котором для любой раскраски n(k) точек в k цветов обязательно найдётся одноцветный набор точек, образующий тупоугольный сферический треугольник?
Примечание: Сферический треугольник называется тупоугольным, если хотя бы один из его углов строго больше 90°.

Связь с классическими задачами: Эта задача является далёким и сложным «родственником» классической теории Рамсея. Вместо поиска моноклики в графе мы ищем конфигурацию точек с определённым геометрическим свойством (тупоугольность). Она также перекликается с задачами о хроматическом числе пространства, но на сфере и с жёстким геометрическим условием. Почему это интересно?

▪️ Геометрический комбинаторный поворот: Сочетание дискретной математики (раскраска) и непрерывной геометрии (свойства на сфере).
▪️ Нетривиальная нижняя оценка: Уже для k=2 (два цвета) задача неочевидна. Можно ли разместить много точек двух цветов так, чтобы все одноцветные треугольники были остроугольными? Это сложная задача на конструкцию.
▪️ Верхняя оценка с помощью Рамсея: Существование числа n(k) доказывается с помощью применения Теоремы Рамсея для гиперграфов, но полученная этим путём оценка будет астрономически большой. Интересно найти более разумные, «человеческие» оценки.
▪️ Открытость: Точные значения n(k) вряд ли известны даже для малых k (напр., k=2, 3). Это порождает пространство для дискуссий, гипотез и поиска частных случаев.

1. Какая конструкция для k = 2 даёт хорошую нижнюю оценку? Может использовать правильный октаэдр?
2. Как можно улучшить верхнюю оценку, используя не общий теорему Рамсея, а специфику геометрии сферы?
3. Верно ли утверждение, если заменить тупоугольность на остроугольность?
4. Как задача упростится, если мы будем рассматривать точки не на сфере, а на окружности?

Эта задача бросает вызов интуиции и требует как комбинаторной изобретательности, так и геометрического зрения. #математика #олимпиады #геометрия #комбинаторика #теория_вероятностей #math #geometry #задачи

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

💦 Задача: «Вихревая струя космического садовника» 💦

Космический садовник для полива своей оранжереи использует цилиндрический бак высотой H = 20 м, заполненный водой. Чтобы создать искусственную гравитацию, бак вращается вокруг своей вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω = 2 рад/с.

В боковой стенке бака у его дна, на расстоянии R₀ = 1 м от оси вращения, проделано малое цилиндрическое отверстие, ось которого горизонтальна. Считайте, что уровень воды в баке поддерживается постоянным, и глубина воды над отверстием равна H (т.е. свободная поверхность находится на высоте H над отверстием). Течение — стационарное, жидкость — идеальная и несжимаемая. Давление на свободной поверхности атмосферное.

Вопрос: Найдите уравнение траектории (форму) струи, вытекающей из отверстия, в системе отсчета, связанной с вращающимся баком. Проигнорируйте сопротивление воздуха и считайте, что струя находится в вакууме.
#задачи #физика #разбор_задач #physics #механика #гидравлика #гидродинамика #science

⚠️ Указание: Вращающаяся система отсчета является неинерциальной. Для решения используйте интеграл Бернулли, записанный для неинерциальной системы отсчета, где к массовым силам добавляется центробежная сила. Учтите, что в системе бака течение стационарно, и частицы жидкости начинают движение из отверстия с начальной скоростью, направленной радиально.

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🌐 Многие ребята в школе бояться теорему косинусов. Но они даже не знают, что существует теорема косинусов для трехгранного угла 😨

Трехгранный угол — это фигура, образованная тремя лучами, исходящими из одной точки S и не лежащими в одной плоскости. Эти лучи называются ребрами, а углы между ребрами (α, β, γ) называются плоскими углами. Углы между плоскостями граней называются двугранными углами.

Тождество на картинке можно доказать, как минимум, двумя способами:
▪️ Векторно-Координатный метод)
▪️ С помощью геометрии на сфере

А существует ли ещё какое-нибудь красивое доказательство данной теоремы? Кто догадался — напишите ваши идеи в комментариях.
#геометрия #математика #олимпиады #стереометрия #geometry #задачи #problems

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib