✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: В мешке лежат шары трёх цветов: 6 красных, 2 чёрных, 2 белых. Мы вытаскиваем последовательно 5 шаров. Какова вероятность, что первые два шара были чёрными при условии, что четвёртый и пятый были красным и белым соответственно.
Решение: Введём классическое вероятностное пространство.
1️⃣ и, в зависимости от того, будет 3 шар белым или красным: 2️⃣
Ответ:1/28
#задачи_шад
Условие: В мешке лежат шары трёх цветов: 6 красных, 2 чёрных, 2 белых. Мы вытаскиваем последовательно 5 шаров. Какова вероятность, что первые два шара были чёрными при условии, что четвёртый и пятый были красным и белым соответственно.
Решение: Введём классическое вероятностное пространство.
1️⃣ и, в зависимости от того, будет 3 шар белым или красным: 2️⃣
Ответ:
#задачи_шад
👍1🙏1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Случайная величина X задана функцией плотности: 1️⃣ Найдите математическое ожидание X.
Решение: Найдём для начала неизвестную константу c из условия нормировки плотности: 2️⃣ откуда получаем, что 3️⃣ Далее, 4️⃣
Ответ:35/24
#задачи_шад
Условие: Случайная величина X задана функцией плотности: 1️⃣ Найдите математическое ожидание X.
Решение: Найдём для начала неизвестную константу c из условия нормировки плотности: 2️⃣ откуда получаем, что 3️⃣ Далее, 4️⃣
Ответ:
#задачи_шад
👍2🌚2
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Пусть U — случайная величина, имеющая равномерное распределение на [0, 1]. Пусть также Z — случайная величина такая, что 0 ≤ Z ≤ 4,
E(Z) = 1, Z и U независимы. Найти значение функции распределения случайной величины Z/U в точке 8.
Решение: Воспользуемся формулой полной вероятности и полезным равенством: 1️⃣. Вычислим искомое значение функции распределения: 2️⃣
Ответ:7/8
#задачи_шад
Условие: Пусть U — случайная величина, имеющая равномерное распределение на [0, 1]. Пусть также Z — случайная величина такая, что 0 ≤ Z ≤ 4,
E(Z) = 1, Z и U независимы. Найти значение функции распределения случайной величины Z/U в точке 8.
Решение: Воспользуемся формулой полной вероятности и полезным равенством: 1️⃣. Вычислим искомое значение функции распределения: 2️⃣
Ответ:
#задачи_шад
👍1👾1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Пусть 1️⃣. Найдите значение параметра a, для которого множество (k, l, m, n) будет линейно зависимым.
Подсказка:Используйте метод Гаусса.
Решение: Требование задачи равносильно вырожденности матрицы коэффициентов. Совершая над ней элементарные преобразования строк и столбцов, получим: 2️⃣ Последняя матрица вырожденна 3️⃣
Ответ:37/13
#задачи_шад
Условие: Пусть 1️⃣. Найдите значение параметра a, для которого множество (k, l, m, n) будет линейно зависимым.
Подсказка:
Решение: Требование задачи равносильно вырожденности матрицы коэффициентов. Совершая над ней элементарные преобразования строк и столбцов, получим: 2️⃣ Последняя матрица вырожденна 3️⃣
Ответ:
#задачи_шад
👍6
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: На пространстве многочленов от переменной x с вещественными коэффициентами задано скалярное произведение 1️⃣. Найдите длину ортогональной проекции многочлена 2️⃣ на линейную оболочку многочленов 3️⃣
Решение: Пусть 4️⃣ Коэффициенты a1, a2 в разложении 5️⃣ находятся из условия ортогональности 6️⃣
Ответ: 6️⃣
#задачи_шад
Условие: На пространстве многочленов от переменной x с вещественными коэффициентами задано скалярное произведение 1️⃣. Найдите длину ортогональной проекции многочлена 2️⃣ на линейную оболочку многочленов 3️⃣
Решение: Пусть 4️⃣ Коэффициенты a1, a2 в разложении 5️⃣ находятся из условия ортогональности 6️⃣
Ответ: 6️⃣
#задачи_шад
👍2
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Линейный оператор φ действует на пространстве многочленов степени не выше 2 с вещественными коэффициентами. Известно, что 1️⃣. Найдите сумму действительных собственных значений оператора φ (сумму следует вычислять с учетом алгебраической кратности собственных значений).
Подсказка:Найдите матрицу данного оператора и её характеристический многочлен.
Решение: Матрица Φ данного оператора в базисе x^2,x,1 удовлетворяет уравнению AΦ^T = B где 2️⃣ откуда 3️⃣ поэтому 4️⃣. Это и есть ответ, так как все собственные значения матрицы Φ^T вещественные. Это следует из того, что ее характеристический многочлен 5️⃣ имеет 3 действительных корня, так как f(0)>0, f(1)<0.
#задачи_шад
Условие: Линейный оператор φ действует на пространстве многочленов степени не выше 2 с вещественными коэффициентами. Известно, что 1️⃣. Найдите сумму действительных собственных значений оператора φ (сумму следует вычислять с учетом алгебраической кратности собственных значений).
Подсказка:
Решение: Матрица Φ данного оператора в базисе x^2,x,1 удовлетворяет уравнению AΦ^T = B где 2️⃣ откуда 3️⃣ поэтому 4️⃣. Это и есть ответ, так как все собственные значения матрицы Φ^T вещественные. Это следует из того, что ее характеристический многочлен 5️⃣ имеет 3 действительных корня, так как f(0)>0, f(1)<0.
#задачи_шад
❤1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Найдите, при каких значениях параметров a и b линейная оболочка векторов. 1️⃣ совпадает с множеством решений системы линейных уравнений Ax = 0, где матрица A равна: 2️⃣
Решение: Пусть 3️⃣ — строки матрицы A. Тогда 4️⃣, поэтому rkA ≤ 2. Векторы v и w должны удовлетворять системе. 5️⃣
#задачи_шад
Условие: Найдите, при каких значениях параметров a и b линейная оболочка векторов. 1️⃣ совпадает с множеством решений системы линейных уравнений Ax = 0, где матрица A равна: 2️⃣
Решение: Пусть 3️⃣ — строки матрицы A. Тогда 4️⃣, поэтому rkA ≤ 2. Векторы v и w должны удовлетворять системе. 5️⃣
#задачи_шад
👍1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: (a) Игроки A, B и C сменяя друг друга, по очереди кидают две игральные кости до тех пор, пока не получат сумму очков, равную 7. Найдите вероятность того, что сумму очков равную 7 получит B.
(b) В результате проведения эксперимента возможны два исхода: успех (с вероятностью p) и неуспех (с вероятностью 1 − p). Экспериментаторы A, B и C сменяют друг друга, по очереди проводят этот эксперимент до тех пор пока не получат успех. Найдите максимальное значение вероятности p, при котором вероятность того, что успех получит B больше либо равна 1/3.
Решение: Пусть ξ — номер первого успеха в бесконечной схеме Бернулли с вероятностью успеха p, q=1-p, A={успех получил B}. Тогда 1️⃣
(a) В этом случае p=P{выпало 7 очков} = 6/36 =1/6, поэтому P(A)=30 / 91
(b) Воспользуемся неравенством q+1/q ≥ 2 : 2️⃣. Заметим, что равенство достигается только в случае 3️⃣
#задачи_шад
Условие: (a) Игроки A, B и C сменяя друг друга, по очереди кидают две игральные кости до тех пор, пока не получат сумму очков, равную 7. Найдите вероятность того, что сумму очков равную 7 получит B.
(b) В результате проведения эксперимента возможны два исхода: успех (с вероятностью p) и неуспех (с вероятностью 1 − p). Экспериментаторы A, B и C сменяют друг друга, по очереди проводят этот эксперимент до тех пор пока не получат успех. Найдите максимальное значение вероятности p, при котором вероятность того, что успех получит B больше либо равна 1/3.
Решение: Пусть ξ — номер первого успеха в бесконечной схеме Бернулли с вероятностью успеха p, q=1-p, A={успех получил B}. Тогда 1️⃣
(a) В этом случае p=P{выпало 7 очков} = 6/36 =1/6, поэтому P(A)=30 / 91
(b) Воспользуемся неравенством q+1/q ≥ 2 : 2️⃣. Заметим, что равенство достигается только в случае 3️⃣
#задачи_шад
❤1👍1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Пусть 1️⃣. Найдите при каких параметрах c во всех точках, в которых f(x) определена, выполняется неравенство 2️⃣.
Решение: Рассмотрим 3 случая. При c=0 неравенство, очевидно, выполняется. Если c>0, то ∀x∈R выполнено: 3️⃣. С другой стороны, 4️⃣, что снова справедливо при ∀x∈R. В случае c<0 аналогичные выкладки приводят к необходимости выполнения неравенства 5️⃣, что невозможно.
Ответ:c=0
#задачи_шад
Условие: Пусть 1️⃣. Найдите при каких параметрах c во всех точках, в которых f(x) определена, выполняется неравенство 2️⃣.
Решение: Рассмотрим 3 случая. При c=0 неравенство, очевидно, выполняется. Если c>0, то ∀x∈R выполнено: 3️⃣. С другой стороны, 4️⃣, что снова справедливо при ∀x∈R. В случае c<0 аналогичные выкладки приводят к необходимости выполнения неравенства 5️⃣, что невозможно.
Ответ:
#задачи_шад
❤2👍1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Найти максимальное a, для которого существуют функции f(x) и g(x) такие, что 1️⃣ и выполнены следующие условия:
▪️ f(x) и g(x) — неубывающие дважды дифференцируемые функции,
▪️ f''(x) = g(x) и g''(x) = f(x),
▪️ функция f(x)g(x) линейна.
Решение: При a=0 тождественно нулевые функции f(x) и g(x) удовлетворяют всем условиям задачи. Предположим, что при некотором a>0 также существуют функции f(x)$ и g(x), которые удовлетворяют всем условиям задачи. Тогда из условий (a) и (b) следует 2️⃣ что противоречит условию (c). Значит, a=0 — максимальное значение a, для которого существуют искомые функции.
Ответ:a = 0
#задачи_шад
Условие: Найти максимальное a, для которого существуют функции f(x) и g(x) такие, что 1️⃣ и выполнены следующие условия:
▪️ f(x) и g(x) — неубывающие дважды дифференцируемые функции,
▪️ f''(x) = g(x) и g''(x) = f(x),
▪️ функция f(x)g(x) линейна.
Решение: При a=0 тождественно нулевые функции f(x) и g(x) удовлетворяют всем условиям задачи. Предположим, что при некотором a>0 также существуют функции f(x)$ и g(x), которые удовлетворяют всем условиям задачи. Тогда из условий (a) и (b) следует 2️⃣ что противоречит условию (c). Значит, a=0 — максимальное значение a, для которого существуют искомые функции.
Ответ:
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: В первой коробке лежат 4 черных и 3 белых шара, а во второй — 5 черных и 4 белых. Из первой коробки наугад вынимается один шар и перекладывается во вторую после чего из второй коробки наугад вынимается один шар, который оказывается черным. Чему равна вероятность того, что из первой коробки был вынут белый шар?
Решение: Рассмотрим события:
A = {из 2-ой коробки вынут черный шар}
B = {из 1-ой коробки вынут белый шар}
C = {из 1-ой коробки вынут черный шар}
Для нахождения искомой вероятности P(B|A) воспользуемся формулой Байеса и формулой полной вероятности: 1️⃣
Ответ:15/39
#задачи_шад
Условие: В первой коробке лежат 4 черных и 3 белых шара, а во второй — 5 черных и 4 белых. Из первой коробки наугад вынимается один шар и перекладывается во вторую после чего из второй коробки наугад вынимается один шар, который оказывается черным. Чему равна вероятность того, что из первой коробки был вынут белый шар?
Решение: Рассмотрим события:
A = {из 2-ой коробки вынут черный шар}
B = {из 1-ой коробки вынут белый шар}
C = {из 1-ой коробки вынут черный шар}
Для нахождения искомой вероятности P(B|A) воспользуемся формулой Байеса и формулой полной вероятности: 1️⃣
Ответ:
#задачи_шад
👍1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Пусть A — вещественная n x n матрица такая, что A² = -E, где E — единичная n x n матрица и пусть f(t) — многочлен такой, что 1️⃣ для любого ⅄ ∈ R. Верно ли, что матрица A не имеет действительных собственных значений? Ответ обоснуйте.
Решение: Да, не имеет, так как для любого 2️⃣ имеем ⅄² = -1 (так как A²=-E), что неверно для ⅄ ∈ R.
Ответ:Да
#задачи_шад
Условие: Пусть A — вещественная n x n матрица такая, что A² = -E, где E — единичная n x n матрица и пусть f(t) — многочлен такой, что 1️⃣ для любого ⅄ ∈ R. Верно ли, что матрица A не имеет действительных собственных значений? Ответ обоснуйте.
Решение: Да, не имеет, так как для любого 2️⃣ имеем ⅄² = -1 (так как A²=-E), что неверно для ⅄ ∈ R.
Ответ:
#задачи_шад
👍1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Заполните третий столбец матрицы 1️⃣ если известно, что это матрица ортогональной проекции на некоторую
плоскость.
Решение: Обозначим неизвестный столбец через 2️⃣. Данная матрица подобна матрице diag(1,1,0). Поэтому (1) trA = 2 и (2) rk(A - E) = 1. Из (1) получаем c = 6 *2 - 5 - 2=5. Из (2) столбцы матрицы A - E пропорциональны, откуда, сравнивая 1-й и 3-й столбцы, получаем a = -1 и b = -2.
Ответ: 3️⃣
#задачи_шад
Условие: Заполните третий столбец матрицы 1️⃣ если известно, что это матрица ортогональной проекции на некоторую
плоскость.
Решение: Обозначим неизвестный столбец через 2️⃣. Данная матрица подобна матрице diag(1,1,0). Поэтому (1) trA = 2 и (2) rk(A - E) = 1. Из (1) получаем c = 6 *2 - 5 - 2=5. Из (2) столбцы матрицы A - E пропорциональны, откуда, сравнивая 1-й и 3-й столбцы, получаем a = -1 и b = -2.
Ответ: 3️⃣
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Случайные величины X и Y независимы и экспоненциально распределены, X — с параметром λ = 1, а Y — с параметром λ = 2. Пусть Z = max(X,Y). Найти математическое ожидание случайной величины Z.
Решение: Известно, что для 1️⃣ верно 2️⃣, или 3️⃣. Найдем функцию распределения, затем плотность, а затем и математическое ожидание случайной величины Z. 4️⃣, 5️⃣
Ответ:7/6
#задачи_шад
Условие: Случайные величины X и Y независимы и экспоненциально распределены, X — с параметром λ = 1, а Y — с параметром λ = 2. Пусть Z = max(X,Y). Найти математическое ожидание случайной величины Z.
Решение: Известно, что для 1️⃣ верно 2️⃣, или 3️⃣. Найдем функцию распределения, затем плотность, а затем и математическое ожидание случайной величины Z. 4️⃣, 5️⃣
Ответ:
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: При каком значении параметра a∈R матрицы 1️⃣ могут быть матрицами одной и той же билинейной формы 2️⃣
в различных базисах?
Решение: Так как вторая матрица симметрична, то и первая должна быть симметричной, откуда 3️⃣ Подставим a=1: 4️⃣ Найдём методом Якоби (через знаки главных миноров) сигнатуры этих матриц: (1,1) и (1,1). Так как сигнатуры одиинаковы, то матрицы эквивалентны.
Ответ:a=1
#задачи_шад
Условие: При каком значении параметра a∈R матрицы 1️⃣ могут быть матрицами одной и той же билинейной формы 2️⃣
в различных базисах?
Решение: Так как вторая матрица симметрична, то и первая должна быть симметричной, откуда 3️⃣ Подставим a=1: 4️⃣ Найдём методом Якоби (через знаки главных миноров) сигнатуры этих матриц: (1,1) и (1,1). Так как сигнатуры одиинаковы, то матрицы эквивалентны.
Ответ:
#задачи_шад
👍1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Подбрасываются 16 симметричных монет (вероятности орла и решки совпадают).
Найдите вероятность того, что:
1. На всех монетах выпадут орлы
2. На 6 монетах выпадут орлы, а на 10 — решки
3. Орлы выпадут хотя бы на двух монетах
Решение: Пусть 1️⃣ — число орлов после n бросков монет с вероятностью выпадения орла равной p. Тогда перед нами схема Бернулли с n=16, p=1/2. Имеем: 2️⃣
#задачи_шад
Условие: Подбрасываются 16 симметричных монет (вероятности орла и решки совпадают).
Найдите вероятность того, что:
1. На всех монетах выпадут орлы
2. На 6 монетах выпадут орлы, а на 10 — решки
3. Орлы выпадут хотя бы на двух монетах
Решение: Пусть 1️⃣ — число орлов после n бросков монет с вероятностью выпадения орла равной p. Тогда перед нами схема Бернулли с n=16, p=1/2. Имеем: 2️⃣
#задачи_шад
1❤1👍1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Лёша и Марина договорились встретиться между 8:00 и 9:00, чтобы вместе отправиться на важное мероприятие. Каждый из них приходит в случайный момент времени в этом интервале, ждёт друг друга ровно 15 минут, а затем уходит, если никто не появился (нельзя рисковать и задерживаться). Являются ли независимыми события «Лёша и Марина не встретились» и «хотя бы один из них пришел после 8:45»? Время считайте непрерывным.
Решение: Пусть x и y — времена прибытия Лёши и Марины соответственно. Обозначим за A и B события «Лёша и Марина не встретились» и «хотя бы один из них пришел после 8:45» соответственно. С помощью 1️⃣ найдем 2️⃣ Таким образом, события A и B зависимы.
Ответ:Cобытия A и B зависимы.
#задачи_шад
Условие: Лёша и Марина договорились встретиться между 8:00 и 9:00, чтобы вместе отправиться на важное мероприятие. Каждый из них приходит в случайный момент времени в этом интервале, ждёт друг друга ровно 15 минут, а затем уходит, если никто не появился (нельзя рисковать и задерживаться). Являются ли независимыми события «Лёша и Марина не встретились» и «хотя бы один из них пришел после 8:45»? Время считайте непрерывным.
Решение: Пусть x и y — времена прибытия Лёши и Марины соответственно. Обозначим за A и B события «Лёша и Марина не встретились» и «хотя бы один из них пришел после 8:45» соответственно. С помощью 1️⃣ найдем 2️⃣ Таким образом, события A и B зависимы.
Ответ:
#задачи_шад
👍2❤1🔥1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Известно, что 1️⃣ Чему равен предел 2️⃣
Решение: Сведем все к замечательным пределам 3️⃣ Имеем 4️⃣
Ответ:3/2
#задачи_шад
Условие: Известно, что 1️⃣ Чему равен предел 2️⃣
Решение: Сведем все к замечательным пределам 3️⃣ Имеем 4️⃣
Ответ:
#задачи_шад
👍1👏1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Верно ли, что для любых линейно-независимых 1️⃣ найдётся матрица A размера n x n, для которой вектор v является собственным с собственным значением 5, а вектор w не лежит в образе? Если да, то найти хотя бы одну такую матрицу. Обязательно объясните ответ.
Решение: Да, подойдёт матрица 2️⃣
Ответ:Да
#задачи_шад
Условие: Верно ли, что для любых линейно-независимых 1️⃣ найдётся матрица A размера n x n, для которой вектор v является собственным с собственным значением 5, а вектор w не лежит в образе? Если да, то найти хотя бы одну такую матрицу. Обязательно объясните ответ.
Решение: Да, подойдёт матрица 2️⃣
Ответ:
#задачи_шад
👍1🙏1