✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД

Условие: Пусть A — квадратная матрица n x n. Докажите, что 1️⃣

Решение: Обозначим A оператор с матрицей A. Напомним, что ImA обозначает образ оператора, KerA — ядро.

Определим оператор A, действующий на ImA как ограничение оператора A на это подпространство. Тогда, имеем очевидные равенства 2️⃣

Поэтому получаем: 3️⃣ 4️⃣

Мы использовали то, что для любого линейного оператора L действующего на векторном пространстве V справедлива формула: 5️⃣ Ч.т.д.

#задачи_шад

✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД

Условие: В социальной сети "Улей" некоторые пары пользователей считаются друзьями, причем известно, что у любой пары друзей нет общих друзей, а у любой из пар, не являющихся друзьями пользователей ровно два общих друга. Докажите, что у всех пользователей одинаковое число друзей.

Решение: Возьмём сначала любых двух друзей a и b. Тогда множества их друзей F(a) и F(b) не пересекаются. У любого пользователя 1️⃣ ровно два общих друга с b: a и 2️⃣ Аналогичное верно и обратное. Тем самым получаем биекцию 3️⃣ Значит, 4️⃣ Пусть теперь a и b не друзья. По условию у них есть общий друг c. По доказанному 5️⃣

Ответ: доказано

#задачи_шад

✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД

Условие: Определите, сколько корней имеет уравнение 1️⃣ на отрезке [0,3].

Решение: Обозначим 2️⃣ Так как x ∈ [0,3], то аргумент подынтегральной функции t^2/3 ∈ [0, 3.5^2/3]. Из рисунка видно, что интеграл от косинуса на этом промежутке может обращаться в нуль лишь в окрестности точки pi/2, поэтому Также видно, что Φ(0) > 0, Φ(pi) < 0, поэтому уравнение Φ(x) = 0 имеет корень на отрезке [0,3]. Таким образом, корень единственный 3️⃣

Ответ: Данное уравнение имеет не более одного корня.

#задачи_шад