✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Подбрасываются 16 симметричных монет (вероятности орла и решки совпадают).
Найдите вероятность того, что:
1. На всех монетах выпадут орлы
2. На 6 монетах выпадут орлы, а на 10 — решки
3. Орлы выпадут хотя бы на двух монетах
Решение: Пусть 1️⃣ — число орлов после n бросков монет с вероятностью выпадения орла равной p. Тогда перед нами схема Бернулли с n=16, p=1/2. Имеем: 2️⃣
#задачи_шад
Условие: Подбрасываются 16 симметричных монет (вероятности орла и решки совпадают).
Найдите вероятность того, что:
1. На всех монетах выпадут орлы
2. На 6 монетах выпадут орлы, а на 10 — решки
3. Орлы выпадут хотя бы на двух монетах
Решение: Пусть 1️⃣ — число орлов после n бросков монет с вероятностью выпадения орла равной p. Тогда перед нами схема Бернулли с n=16, p=1/2. Имеем: 2️⃣
#задачи_шад
1❤1👍1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Лёша и Марина договорились встретиться между 8:00 и 9:00, чтобы вместе отправиться на важное мероприятие. Каждый из них приходит в случайный момент времени в этом интервале, ждёт друг друга ровно 15 минут, а затем уходит, если никто не появился (нельзя рисковать и задерживаться). Являются ли независимыми события «Лёша и Марина не встретились» и «хотя бы один из них пришел после 8:45»? Время считайте непрерывным.
Решение: Пусть x и y — времена прибытия Лёши и Марины соответственно. Обозначим за A и B события «Лёша и Марина не встретились» и «хотя бы один из них пришел после 8:45» соответственно. С помощью 1️⃣ найдем 2️⃣ Таким образом, события A и B зависимы.
Ответ:Cобытия A и B зависимы.
#задачи_шад
Условие: Лёша и Марина договорились встретиться между 8:00 и 9:00, чтобы вместе отправиться на важное мероприятие. Каждый из них приходит в случайный момент времени в этом интервале, ждёт друг друга ровно 15 минут, а затем уходит, если никто не появился (нельзя рисковать и задерживаться). Являются ли независимыми события «Лёша и Марина не встретились» и «хотя бы один из них пришел после 8:45»? Время считайте непрерывным.
Решение: Пусть x и y — времена прибытия Лёши и Марины соответственно. Обозначим за A и B события «Лёша и Марина не встретились» и «хотя бы один из них пришел после 8:45» соответственно. С помощью 1️⃣ найдем 2️⃣ Таким образом, события A и B зависимы.
Ответ:
#задачи_шад
👍2❤1🔥1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Известно, что 1️⃣ Чему равен предел 2️⃣
Решение: Сведем все к замечательным пределам 3️⃣ Имеем 4️⃣
Ответ:3/2
#задачи_шад
Условие: Известно, что 1️⃣ Чему равен предел 2️⃣
Решение: Сведем все к замечательным пределам 3️⃣ Имеем 4️⃣
Ответ:
#задачи_шад
👍1👏1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Верно ли, что для любых линейно-независимых 1️⃣ найдётся матрица A размера n x n, для которой вектор v является собственным с собственным значением 5, а вектор w не лежит в образе? Если да, то найти хотя бы одну такую матрицу. Обязательно объясните ответ.
Решение: Да, подойдёт матрица 2️⃣
Ответ:Да
#задачи_шад
Условие: Верно ли, что для любых линейно-независимых 1️⃣ найдётся матрица A размера n x n, для которой вектор v является собственным с собственным значением 5, а вектор w не лежит в образе? Если да, то найти хотя бы одну такую матрицу. Обязательно объясните ответ.
Решение: Да, подойдёт матрица 2️⃣
Ответ:
#задачи_шад
👍1🙏1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Пусть A — квадратная матрица n x n. Докажите, что 1️⃣
Решение: Это частный случай неравенства Сильвестра 2️⃣ для любых матриц A размера m x n и B размера n x p. Достаточно положить m=n=p и B=A.
#задачи_шад
Условие: Пусть A — квадратная матрица n x n. Докажите, что 1️⃣
Решение: Это частный случай неравенства Сильвестра 2️⃣ для любых матриц A размера m x n и B размера n x p. Достаточно положить m=n=p и B=A.
#задачи_шад
1❤1👍1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Пусть A — квадратная матрица n x n. Докажите, что 1️⃣
Решение: Обозначим A оператор с матрицей A. Напомним, что ImA обозначает образ оператора, KerA — ядро.
Определим оператор A, действующий на ImA как ограничение оператора A на это подпространство. Тогда, имеем очевидные равенства 2️⃣
Поэтому получаем: 3️⃣ 4️⃣
Мы использовали то, что для любого линейного оператора L действующего на векторном пространстве V справедлива формула: 5️⃣ Ч.т.д.
#задачи_шад
Условие: Пусть A — квадратная матрица n x n. Докажите, что 1️⃣
Решение: Обозначим A оператор с матрицей A. Напомним, что ImA обозначает образ оператора, KerA — ядро.
Определим оператор A, действующий на ImA как ограничение оператора A на это подпространство. Тогда, имеем очевидные равенства 2️⃣
Поэтому получаем: 3️⃣ 4️⃣
Мы использовали то, что для любого линейного оператора L действующего на векторном пространстве V справедлива формула: 5️⃣ Ч.т.д.
#задачи_шад
👍1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: В социальной сети "Улей" некоторые пары пользователей считаются друзьями, причем известно, что у любой пары друзей нет общих друзей, а у любой из пар, не являющихся друзьями пользователей ровно два общих друга. Докажите, что у всех пользователей одинаковое число друзей.
Решение: Возьмём сначала любых двух друзей a и b. Тогда множества их друзей F(a) и F(b) не пересекаются. У любого пользователя 1️⃣ ровно два общих друга с b: a и 2️⃣ Аналогичное верно и обратное. Тем самым получаем биекцию 3️⃣ Значит, 4️⃣ Пусть теперь a и b не друзья. По условию у них есть общий друг c. По доказанному 5️⃣
Ответ:доказано
#задачи_шад
Условие: В социальной сети "Улей" некоторые пары пользователей считаются друзьями, причем известно, что у любой пары друзей нет общих друзей, а у любой из пар, не являющихся друзьями пользователей ровно два общих друга. Докажите, что у всех пользователей одинаковое число друзей.
Решение: Возьмём сначала любых двух друзей a и b. Тогда множества их друзей F(a) и F(b) не пересекаются. У любого пользователя 1️⃣ ровно два общих друга с b: a и 2️⃣ Аналогичное верно и обратное. Тем самым получаем биекцию 3️⃣ Значит, 4️⃣ Пусть теперь a и b не друзья. По условию у них есть общий друг c. По доказанному 5️⃣
Ответ:
#задачи_шад
👍1💯1
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Определите, сколько корней имеет уравнение 1️⃣ на отрезке [0,3].
Решение: Обозначим 2️⃣ Так как x ∈ [0,3], то аргумент подынтегральной функции t^2/3 ∈ [0, 3.5^2/3]. Из рисунка видно, что интеграл от косинуса на этом промежутке может обращаться в нуль лишь в окрестности точки pi/2, поэтому Также видно, что Φ(0) > 0, Φ(pi) < 0, поэтому уравнение Φ(x) = 0 имеет корень на отрезке [0,3]. Таким образом, корень единственный 3️⃣
Ответ:Данное уравнение имеет не более одного корня.
#задачи_шад
Условие: Определите, сколько корней имеет уравнение 1️⃣ на отрезке [0,3].
Решение: Обозначим 2️⃣ Так как x ∈ [0,3], то аргумент подынтегральной функции t^2/3 ∈ [0, 3.5^2/3]. Из рисунка видно, что интеграл от косинуса на этом промежутке может обращаться в нуль лишь в окрестности точки pi/2, поэтому Также видно, что Φ(0) > 0, Φ(pi) < 0, поэтому уравнение Φ(x) = 0 имеет корень на отрезке [0,3]. Таким образом, корень единственный 3️⃣
Ответ:
#задачи_шад
❤1💯1