✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД

Условие: В первой коробке лежат 4 черных и 3 белых шара, а во второй — 5 черных и 4 белых. Из первой коробки наугад вынимается один шар и перекладывается во вторую после чего из второй коробки наугад вынимается один шар, который оказывается черным. Чему равна вероятность того, что из первой коробки был вынут белый шар?

Решение: Рассмотрим события:
A = {из 2-ой коробки вынут черный шар}
B = {из 1-ой коробки вынут белый шар}
C = {из 1-ой коробки вынут черный шар}

Для нахождения искомой вероятности P(B|A) воспользуемся формулой Байеса и формулой полной вероятности: 1️⃣

Ответ: 15/39

#задачи_шад

✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД

Условие: Пусть A — вещественная n x n матрица такая, что A² = -E, где E — единичная n x n матрица и пусть f(t) — многочлен такой, что 1️⃣ для любого ⅄ ∈ R. Верно ли, что матрица A не имеет действительных собственных значений? Ответ обоснуйте.

Решение: Да, не имеет, так как для любого 2️⃣ имеем ⅄² = -1 (так как A²=-E), что неверно для ⅄ ∈ R.

Ответ: Да

#задачи_шад

✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД

Условие: Заполните третий столбец матрицы 1️⃣ если известно, что это матрица ортогональной проекции на некоторую
плоскость.

Решение: Обозначим неизвестный столбец через 2️⃣. Данная матрица подобна матрице diag(1,1,0). Поэтому (1) trA = 2 и (2) rk(A - E) = 1. Из (1) получаем c = 6 *2 - 5 - 2=5. Из (2) столбцы матрицы A - E пропорциональны, откуда, сравнивая 1-й и 3-й столбцы, получаем a = -1 и b = -2.

Ответ: 3️⃣

#задачи_шад

✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД

Условие: Случайные величины X и Y независимы и экспоненциально распределены, X — с параметром λ = 1, а Y — с параметром λ = 2. Пусть Z = max(X,Y). Найти математическое ожидание случайной величины Z.

Решение: Известно, что для 1️⃣ верно 2️⃣, или 3️⃣. Найдем функцию распределения, затем плотность, а затем и математическое ожидание случайной величины Z. 4️⃣, 5️⃣

Ответ: 7/6

#задачи_шад

✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД

Условие: При каком значении параметра a∈R матрицы 1️⃣ могут быть матрицами одной и той же билинейной формы 2️⃣
в различных базисах?

Решение: Так как вторая матрица симметрична, то и первая должна быть симметричной, откуда 3️⃣ Подставим a=1: 4️⃣ Найдём методом Якоби (через знаки главных миноров) сигнатуры этих матриц: (1,1) и (1,1). Так как сигнатуры одиинаковы, то матрицы эквивалентны.

Ответ: a=1

#задачи_шад

✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД

Условие: Подбрасываются 16 симметричных монет (вероятности орла и решки совпадают).
Найдите вероятность того, что:

1. На всех монетах выпадут орлы
2. На 6 монетах выпадут орлы, а на 10 — решки
3. Орлы выпадут хотя бы на двух монетах

Решение: Пусть 1️⃣ — число орлов после n бросков монет с вероятностью выпадения орла равной p. Тогда перед нами схема Бернулли с n=16, p=1/2. Имеем: 2️⃣

#задачи_шад

✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД

Условие: Лёша и Марина договорились встретиться между 8:00 и 9:00, чтобы вместе отправиться на важное мероприятие. Каждый из них приходит в случайный момент времени в этом интервале, ждёт друг друга ровно 15 минут, а затем уходит, если никто не появился (нельзя рисковать и задерживаться). Являются ли независимыми события «Лёша и Марина не встретились» и «хотя бы один из них пришел после 8:45»? Время считайте непрерывным.

Решение: Пусть x и y — времена прибытия Лёши и Марины соответственно. Обозначим за A и B события «Лёша и Марина не встретились» и «хотя бы один из них пришел после 8:45» соответственно. С помощью 1️⃣ найдем 2️⃣ Таким образом, события A и B зависимы.

Ответ: Cобытия A и B зависимы.

#задачи_шад

✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД

Условие: Известно, что 1️⃣ Чему равен предел 2️⃣

Решение: Сведем все к замечательным пределам 3️⃣ Имеем 4️⃣

Ответ: 3/2

#задачи_шад

✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД

Условие: Верно ли, что для любых линейно-независимых 1️⃣ найдётся матрица A размера n x n, для которой вектор v является собственным с собственным значением 5, а вектор w не лежит в образе? Если да, то найти хотя бы одну такую матрицу. Обязательно объясните ответ.

Решение: Да, подойдёт матрица 2️⃣

Ответ: Да

#задачи_шад

✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД

Условие: Пусть A — квадратная матрица n x n. Докажите, что 1️⃣

Решение: Это частный случай неравенства Сильвестра 2️⃣ для любых матриц A размера m x n и B размера n x p. Достаточно положить m=n=p и B=A.

#задачи_шад

✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД

Условие: Пусть A — квадратная матрица n x n. Докажите, что 1️⃣

Решение: Обозначим A оператор с матрицей A. Напомним, что ImA обозначает образ оператора, KerA — ядро.

Определим оператор A, действующий на ImA как ограничение оператора A на это подпространство. Тогда, имеем очевидные равенства 2️⃣

Поэтому получаем: 3️⃣ 4️⃣

Мы использовали то, что для любого линейного оператора L действующего на векторном пространстве V справедлива формула: 5️⃣ Ч.т.д.

#задачи_шад

✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД

Условие: В социальной сети "Улей" некоторые пары пользователей считаются друзьями, причем известно, что у любой пары друзей нет общих друзей, а у любой из пар, не являющихся друзьями пользователей ровно два общих друга. Докажите, что у всех пользователей одинаковое число друзей.

Решение: Возьмём сначала любых двух друзей a и b. Тогда множества их друзей F(a) и F(b) не пересекаются. У любого пользователя 1️⃣ ровно два общих друга с b: a и 2️⃣ Аналогичное верно и обратное. Тем самым получаем биекцию 3️⃣ Значит, 4️⃣ Пусть теперь a и b не друзья. По условию у них есть общий друг c. По доказанному 5️⃣

Ответ: доказано

#задачи_шад

✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД

Условие: Определите, сколько корней имеет уравнение 1️⃣ на отрезке [0,3].

Решение: Обозначим 2️⃣ Так как x ∈ [0,3], то аргумент подынтегральной функции t^2/3 ∈ [0, 3.5^2/3]. Из рисунка видно, что интеграл от косинуса на этом промежутке может обращаться в нуль лишь в окрестности точки pi/2, поэтому Также видно, что Φ(0) > 0, Φ(pi) < 0, поэтому уравнение Φ(x) = 0 имеет корень на отрезке [0,3]. Таким образом, корень единственный 3️⃣

Ответ: Данное уравнение имеет не более одного корня.

#задачи_шад