🌀 10 фракталов, которые стоит увидеть

Фрактал (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев.

▪️ В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.
▪️ Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил серийный выпуск своих антенн. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться. Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность.
▪️ Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.
▪️ Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).
▪️ Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.
#gif #геометрия #математика #симметрия #geometry #maths #фракталы

Пытались ли вы запрограммировать отрисовку какого-нибудь фрактала? Напишите в комментариях, а лучше покажите что у вас получилось.

🐉 Кривая дракона

👩‍💻 Множество Мандельброта

🌿 Фракталы: Порядок в хаосе [2008] В поисках скрытого измерения [Fractals. Hunting the Hidden Dimension]

🌀 10 фракталов, которые стоит увидеть

🔺 Так выглядит фрактал

👩‍💻 Треугольник Серпинского

📕 Фрактальная геометрия природы [2002] Бенуа Мандельброта

🌿 Папоротник Барнсли

📘 Фракталы повсюду Второе издание [2000] Майкл Ф. Барнсли

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

👽 Математики нашли доказательство 122-летней загадки превращения треугольника в квадрат

Около 10 лет назад Тонан Камата, ныне математик из Японского института передовых наук и технологий (JAIST), заворожённо стоял перед экспонатом математического музея, похожим на оригами. На нём была изображена треугольная плитка, разрезанная на четыре части, которые были соединены крошечными шарнирами. При простом повороте кусочки вращались, превращая треугольник в квадрат.

Экспозиция ведёт свою историю от математической головоломки, опубликованной в газете 1902 года. Генри Дьюдени, английский математик-самоучка и автор колонки головоломок, попросил своих читателей разрезать равносторонний треугольник на наименьшее количество частей, которые можно будет потом сложить в квадрат. В своей следующей колонке через две недели он отметил, что «мистер К. У. Макилрой из Манчестера» — Чарльз Уильям Макилрой, клерк, который часто писал Дьюдени с решениями головоломок, — нашёл решение из четырёх частей. Спустя ещё две недели Дьюдени сообщил, что никто из других читателей газеты не смог справиться с этой задачей, и с тех пор рекорд остаётся в силе. Однако до сих пор не доказано, существует ли решение с меньшим количеством кусочков.

Головоломка стала известна как «разрезание Дьюдени» или «задача галантерейщика», и о ней даже написали в июньском номере журнала Scientific American за 1958 год. Мартин Гарднер, математик и давний колумнист журнала, написал об этой загадке.

Теперь, спустя более 122 лет после того, как она была впервые опубликована, Камата и два других математика наконец доказали, что решение с меньшим количеством кусочков невозможно. Их результат был опубликован на сервере arXiv.org в препринте от декабря 2024 года под названием «Dudeney's Dissection Is Optimal».

Вместе с математиком Массачусетского технологического института Эриком Демайном и математиком JAIST Рюхеем Уехарой Камата разрабатывал новый подход к решению проблем складывания оригами с помощью теории графов. В теории графов граф — это набор линий, или рёбер, и вершин, то есть точек, где рёбра пересекаются. Рёбра и вершины одного графа можно сравнить с рёбрами и вершинами другого графа, чтобы изучить более глубокие взаимосвязи между двумя структурами — такой подход, по мнению Каматы, может помочь решить проблему расчленения Дьюдени.

Одна часть проблемы довольно проста: решение из двух частей можно исключить, если подумать об ограничениях задачи. Для начала, треугольник и квадрат должны иметь равные площади, потому что составляющие их кусочки одинаковы. Для квадрата самый длинный возможный разрез — по диагонали. Немного математики с ручкой и бумагой показывают, что, к сожалению, длина диагонали слишком мала для стороны треугольника такой же площади, что исключает решение, использующее два кусочка.

Однако доказать, что решений из трёх кусочков не существует, гораздо сложнее, и в этом причина столетней задержки. Хотя речь и идёт о трёх частях, существует бесконечное число способов разрезать треугольник, говорит Демейн. «У каждого из этих кусочков может быть произвольное количество граней, а координаты этих разрезов начинаются в произвольных точках», — говорит он. «У вас есть эти непрерывные параметры, где существует множество и множество бесконечностей возможных вариантов, что делает задачу такой раздражающе трудной. Вы не можете просто перебрать их с помощью компьютера».

Чтобы решить эту проблему, группа классифицировала возможные разрезы равностороннего треугольника, основываясь на том, как разрезы пересекают его грани. Сначала исследователи отсортировали бесконечное множество способов разрезать треугольник на пять уникальных классификаций. Затем они повторили упражнение для квадрата и нашли 38 различных классификаций.

Исследователи попытались сопоставить треугольный граф с квадратным, проследив все возможные пути в каждой фигуре и сравнив получившиеся наборы длин рёбер и углов. Если бы один из путей квадрата совпал с путём из треугольника, это означало бы, что есть решение из 3 частей.

#math #gif #геометрия #задачи #математика

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🔥 В древние времена среди металлов наибольшим спросом пользовалась медь. Её добывали из россыпей и плавили из руды. Зародилась медная металлургия в Анатолии, а потом постепенно стала распространяться по Евразии. Самым древним сплавом является мышьяковистая медь, которую получали из золотистого мышьяковистого минерала аурипигмента и смеси медной руды еще в IV тыс. до н.э. Во II тыс. до н.э. на смену мышьяковистой меди пришла оловянная бронза, которая на Кикладских островах (Греция) была известна уже в III тыс. до н.э. В гончарных мастерских происходила плавка металлов, в процессе которой удавалось обнаружить сплавы с разными температурами плавления и легкоплавкие из них использовались в качестве припоя.

Результаты археологических раскопок позволяют утверждать, что пайка как средство соединения металлов известна человеку не мене пяти тысячелетий. В 1927-1928 гг. археолог Леонард Вуллей при раскопках города Ура на Евфрате обнаружил гробницу царицы Шуб-ат с золотыми сосудами, ручки которых были припаяны серебряно-золотым сплавом. Всё это относится к 3500 году до н.э. #факты #пайка #металлы #железо #химия #научные_фильмы #gif

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🌀 Различия в свойствах мягких припоев

Эти обозначения (# Tin или # Sn) не указывают напрямую на химический состав, а указывают на прочность на растяжение (tensile strength) припоя, выраженную в фунтах на квадратный дюйм (psi). Давайте разберем по порядку.

▪️ # в данном контексте означает "фунт" (pound). Цифра перед ним — это значение прочности на растяжение в тысячах фунтов на квадратный дюйм (ksi).

▪️ Примеры: 45# Sn означает припой с прочностью на растяжение 45 000 psi. или 99# Tin означает припой с прочностью на растяжение 99 000 psi.
Чем выше это число, тем прочнее соединение, полученное с помощью этого припоя.

▪️ Tin (англ.) или Sn (лат. Stannum) — это Олово. Указание "Tin" или "Sn" говорит о том, что этот припой содержит олово, но не говорит о его точном процентном содержании.

▪️ Эта система (ASTM B32) была распространена в США до того, как повсеместно стали использовать маркировку по химическому составу. Со временем для самых популярных марок сложились устойчивые соответствия.
➰ 30# Tin / Sn — Аналог ПОС-50 — Sn50Pb50 (50% олова, 50% свинца) — Радиомонтаж, общие работы. Низкая температура плавления.
➰ 45# Sn — Близок к ПОС-40 — Sn40Pb60 (40% олова, 60% свинца) — Более тугоплавкий, для неответственных соединений.
➰ 63# Sn — ПОС-63 (самый распространенный) — Sn63Pb37 (63% олова, 37% свинца) — Эвтектический припой. Идеален для электромонтажа: низкая Тпл, быстро переходит из жидкой в твердую фазу, мало склонен к образованию "холодных паек".
➰ 99# Tin — Sn95Sb5 (95% олова, 5% сурьмы) — Бессвинцовый припой. Высокая прочность, используется для пайки трубопроводов, радиаторов, в пищевой промышленности. Устойчив к ползучести и усталости.

Совет: Для современного электромонтажа (пайка электроники) золотым стандартом долгое время был 63# Sn (Sn63Pb37). Сейчас, с переходом на бессвинцовые технологии, чаще используются составы типа SAC305 (Sn96.5Ag3.0Cu0.5), которые маркируются уже по своему химическому составу. #факты #пайка #металлы #железо #химия #научные_фильмы #gif

🔥 В древние времена среди металлов наибольшим спросом пользовалась....

🔥 Сварка трением (фрикционная сварка)

✨ Как сделать сварочный аппарат из карандаша и лезвия

Какой флюс для пайки самый лучший на сегодняшний день?

🪙 Разбираемся в пайке: Советы по соотношению олова и свинца и их влиянию

🔥 10 флюсов для пайки: сравнение, тесты и какой реально стоит использовать мастеру

🔥 Сварка под слоем флюса

✨ Мартенсит

⛓️‍💥 Какие только технологии не применяли в СССР

⚡️ Большие токи в нескольких витках провода вызывают существенное магнитное поле.

💥 Лазерная сварка с разной формой луча

🔥 Spot-сварка

💥 Импульсная аргонодуговая сварка

💥 Электросварка и плавление электрода 💫

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

⚙️ График, который получается в результате таких манипуляций — трохоида, у которой опорная поверхность не плоская, а имеет переменный радиус кривизны. По сути это совокупность эпитрохоид, построенных на поверхности с переменным радиусом кривизны.

Для понимания процесса нужно записать на черновике два параметрических уравнения, которые получаются, когда кругл «катится» по плоскости:

x = r⋅t - h⋅sin(t)
y = r - h⋅cos(t)

Для эпициклоиды уже сложнее:

x = R⋅(m+1)⋅cos(m⋅t) - h⋅cos((m+1)⋅t)
y = R⋅(m+1)⋅sin(m⋅t) - h⋅sin((m+1)⋅t)

где m = r/R , R — радиус неподвижной окружности (опорная поверхность), r — радиус катящейся окружности. h — расстояние от центра катящейся окружности до точки маркера (за которой мы следим, точка, которая рисует).
Ну а если тут положить R → ∞ и h → R , то мы получаем уравнения классической циклоиды, график которой описывает крайняя точка на колесе машины, которая едет с постоянной скоростью и без проскальзывания.

❓Математические вопросы для наших подписчиков:
▪️ Попробуйте выразить явную зависимость y(x). Получится у вас это сделать?
▪️ На видео видно, что мы получаем семейство кривых, которые после каждого полного «круга» немного смещаются. Для этого смещения обязательно ли число зубьев на маленьком колесе и число зубьев на опорной кривой должны быть взаимно простыми числами? Или достаточно лишь того, чтобы они отличались хотя бы на 1 ?

➰ Красота параметрических кривых

⭕️ Точки пересечения кругов на воде движутся по гиперболе

🕑 Экстремальная задача на смекалку

#математика #mathematics #animation #math #геометрия #geometry #gif

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib